Statistische Häufigkeit:
Das Zipf'sche Gesetz und Pareto-Verteilung

Viele Systeme haben die Eigenschaft sich selbst zu organisieren, also dass die Einflüsse die auf das System wirken aus dem System selber kommen.
Ein Beispiel dafür ist Sprache. Sprache ist eine Methode Information zu vermitteln und um das möglichst effizient zu machen organisieren sich Sprachen z.B. so dass Worte die häufig genutzt werden kürzer sind. Solche Häufigkeiten hat George Zipf untersucht und ist auf folgendes gestoßen:

Wenn man Elemente einer Gruppe nach Häufigkeit sortiert ergibt sich ein Muster das sich überall in der Natur finden lässt.
Geht man vom Häufigsten zum seltensten Element, ist die Häufigkeit umgekehrt proportional zur Position. Also: Häufigkeit = 1/Position.
Sagen wir die Position 1 hat 1000 Elemente. Dann wird die Position 2 etwa 1/2 so oft vorhanden sein, also 500 mal. Position 3 wird 1/3 so oft da sein, also 333 mal, Position 1000 wird 1/1000 mal so oft da sein, also 1 mal usw.
Hier als Beispiel an der Buchstabenverteilung in der deutschen Sprache.

Der Buchstabe E ist der Häufigste, an zweiter Stelle steht N und ist etwa halb so oft zu sehen wie E, an dritter Stelle I mit 1/3 so häufigem Auftauchen usw.

Dasselbe gilt für viele, viele, VIELE andere Systeme. Worte verteilen sich danach, Zitierungen in wissenschaftlichen Texten, sogar solchen Sachen wie Musik (der häufigste Rhythmus wird doppelt so oft genutzt wie der Zweithäufigste usw.).
Was wichtig ist: Diese Verteilung ist unabhängig von der Art des Systems. Das heißt nehme ich z.B: Chinesisch, Deutsch und Suaheli, drei Sprachen die komplett andere Grammatik und Sprachmuster haben und nichts miteinander zu tun haben, werden sie trotzdem eine Zipf-Verteilung haben. Das ist so universell dass SETI Forscher Signale aus dem Weltall auf Zipf- Verteilungen untersuchen, weil solch eine Verteilung ein deutlicher Hinweis auf eine Sprache sind. Finden wir so ein Signal können wir zwar nicht verstehen was gesagt wird, aber wir wissen zumindest dass es eine Form der Sprache ist.

Solche Formen der Verteilung nennt man Zipf-Verteilung oder Pareto-Verteilung, mit der Tendenz Pareto eher für wirtschaftliches einzusetzen.

Wie kann ich das jetzt weltenbastlerisch einsetzen?

Habe ich Mengen- oder Größenverteilungen die nicht rein zufällig sind sondern auf sich organisierenden Systemen basieren, wie z.B. Stadtgrößen, Einwohnerzahlen, Worthäufigkeiten, Fianzen u.ä. wird sich meistens eine annäherne Zipfverteilung ergeben.

Bastel ich z.B. ein Land und ich weiß meine Hauptstadt hat 1mio Einwohner, kann ich davon ausgehen dass die zweitgrößte Stadt in etwa 500.000 Einwohner hat, die drittgrößte 333.000 Einwohner, die Viertgrößte 250.000 usw. Natürlich gibt es Schwankungen, aber diese bewegen sich im Bereich von einstelligen Prozentzahlen. Bastel ich die ganze Welt kann ich das Gesetz auch anwenden. Schaut man sich die Geschichte der Menschheit an sieht man, dass in den meisten Zeiten die Stadtgrößen nach Zipf verteilt waren, auch wenn die Städte am anderen Ende der Welt lagen und nichts miteinander zu tun hatten.
Ein Beispiel hierfür ist die Stadtgrößenverteilung in Deutschland:

Man sieht einige Ausreißer, aber diese sind eher gering.
Ausreißer gibt es immer, aber diese haben im Normalfall einen Grund. Berlin z.B. ist kleiner als es Zipf vorhersagt, aber das ist geschichtlich begründet. Die Stadt war über Jahrzehnte eingesperrt und konnte nicht wachsen und war durch ihre Lage jahrzehntelang politisch und wirtschaftlich unwichtiger als sie für ihre Größe hätte sein sollen. Rom z.B. war in der frühen Antike größer als sie hätte sein sollen, weil die Regierung sehr zentralistisch war, hat aber im Laufe der Zeit immer mehr Bedeutung zu den Provinzhauptstädten verloren, wodurch sie in der späten Antike kleiner war als berechnet. Mit genug Zeit passen sich die Ausreißer meistens an, außer natürlich der Grund für den Unterschied bleibt bestehen.

Bastel ich z.B. eine Sprache kann ich mir die Häufigkeiten der Laute anschauen. Habe ich alle Vokale gleich häufig in meiner Sprache klingt sie unnatürlich. Habe ich lange Worte die genau so häufig vorkommen wie kurze Worte, klingt das auch unnatürlich. Sind lange Worte häufiger als kurze, ebenso. Auch hier kann es Ausreißer geben, die haben aber auch wiederum im Normalfall einen Grund. So ist z.B. der Buchstabe Y in den letzten 20 Jahren in Deutschland häufiger geworden als vorher, einfach weil durch die technische Entwicklung neue Worte entstanden sind die häufig genutzt werden, in dem Fall das Wort Handy. Ebenso kann es sein dass es ein langes Wort gibt das durch einen Grund häufiger genutzt wird. Im Normalfall passt das System sich aber an und das Wort wird gekürzt. Aus Automobil wird in der Umgangssprache Auto, im Englischen wurde aus Television TV usw.

Wichtig ist dabei immer: Das Zipf'sche Gesetz sagt nur das Verhältnis zwischen den Häufigkeiten voraus, NICHT was davon wie häufig ist. Wenn man eine Sprache bastelt sagt es aus dass die Vokale unterschiedlich häufig sind, aber nicht welcher Vokal am häufigsten ist. Im Deutschen ist es das E, aber es kann in einer anderen Sprache auch das A sein. Das Gesetz sagt nur aus, dass E und A nicht gleich häufig vorkommen. Ebenso wenn man Städte bastelt sagt das Gesetzt nur vorher dass es in dem Land mit einer Millionenstadt auch eine Stadt mit 500.000 Einwohnern gibt, es sagt aber nicht voraus welche Stadt das ist und wo diese liegt. Das ist Thema eines anderen Beitrags...

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Andere Beispiele für diese Verteilung:
Unfallschäden - Sortiert man die ausgezahlten Versicherungssummen bei Unfällen nach Höhe ergibt sich eine Zipf-Verteilung
Fälschung - Ein Student wurde der Fälschung seiner Doktorarbeit überführt weil die Messergebnisse nicht Zipf-Verteilt waren. Er hat daraufhin zugegeben sie frei erfunden zu haben
Die berühmte 80/20 Regel - Es gibt die Faustregel dass man 80% der Arbeit in 20% der Zeit schafft bzw. die ersten 80% einfach sind und der Rest dann schwer.
Unternehmensgewinne - Gewinne von Unternehmen verhalten sich danach. Das reichste Unternehmen hat etwa doppelt so viele Gewinne wie das Zweitreichste usw.

Verteilung von Siedlungen:
Theorie der Zentralen Orte

Sieht man sich Karten von Regionen an, fallen einem gewisse Verteilungen in der Größe von Städten auf. Große Städte sind weit voneinander entfernt und dazwischen liegen kleinere Ortschaften. Die grundlegende Theorie dahinter wurde von Walther Christaller entwickelt.

Gehen wir anfangs von einem einfachen Modell aus, das folgende Grundlagen hat:
- Der Raum ist homogen: Es gibt keine Hindernisse oder andere Probleme, ich kann Orte da hin setzen wo ich will.
- Die Leute sind homogen: Die Bewohner haben alle die gleichen Bedürfnisse
Außerdem wollen die Leute ja was haben, wie Nahrung, Kleidung usw.
- Transportkosten sind proportional zur Entfernung: Je weiter ich etwas transportieren muss, desto teurer wird es
- Anbieter und Nachfrager streben höchstmöglichen Nutzen an: der Anbieter will eine möglichst hohe Gewinnspanne, der Nachfrager möglichst geringe Preise
Darauf folgt Jedes Gut hat zwei Reichweiten:
- Innere Reichweite: Ein Händler braucht eine gewisse Zahl von Kunden um Profit zu machen. Die innere Reichweite gibt den Radius an innerhalb dessen genug Kunden sind um Profit zu machen. Beispiel: Stelle ich Autos her und verkaufe sie nur in einem Radius von 5km werde ich nie genug Interessenten haben um davon leben zu können.
- Äußere Reichweite: Ein Kunde ist bereit nur eine bestimmte Entfernung zurück zu legen um ein Gut zu kaufen. Beispiel: Ich fahre keine 100km um ein Brötchen fürs Frühstück zu kaufen.


Fangen wir vom Kleinen zum Großen erst einmal an.
Ich als Kunde habe unterschiedliche Radien die ich bereit bin zurück zu legen für bestimmte Güter. Das Frühstücksbrötchen will ich vom Bäcker um die Ecke, für ein Auto bin ich bereit weiter zu fahren um es zu holen. Für die Grundschule bin ich nicht bereit meine Kinder in eine andere Stadt zu schicken, für die Universität durchaus. Es gibt also unterschiedlich wichtige Waren und Dienstleistungen. Je wichtiger eine Dienstleistung oder Ware ist, desto weiter sind Leute bereit dafür zu reisen, desto "zentraler" ist diese Ware. Quasi: je zentraler eine Ware oder eine Dienstleistung ist, desto größer ist ihre Anziehungskraft und desto weiter strahlt sie aus.
Aber gleichzeitig gilt auch: desto seltener nehme ich sie in Anspruch. Einen Supermarkt brauche ich ziemlich jeden Tag für das zu futtern, will ihn also möglichst nah, bei einem Theater ist mir das weniger wichtig, da fahr ich viel seltener hin.

Bin ich nun auf einem kleinen Dorf, braucht dieses Dorf Versorgung des täglichen Bedarfs, einen Bäcker, einen Metzger usw. Existiert etwas davon nicht, habe ich eine Versorgungslücke. Diese Versorgungslücke wird geschlossen indem ein Metzger oder was auch immer fehlt hin zieht (zumindest im Idealfall aber wir gehen ja vom Idealfall aus).

Hier sehen wir ein Beispiel: Die roten Punkte sind Orte, z.B. der Dorfkern. Die dunklen Kreise geben den inneren Radius an, also den Mindestbereich den der Händler abdecken muss um Profit zu machen und der hellere Kreis gibt den äußeren Radius an, also die Entfernung die Leute bereit sind für die Ware zu reisen. Um eine perfekte Abdeckung für alle zu haben ergibt sich daraus eine Art Bienenwabenschema. Die Händler sind weit genug voneinander entfernt dass sie Profit machen aber nah genug aneinander um die Fläche vollständig abzudecken. Das sieht man z.B. in Städten an der Verteilung von Supermärkten oder Bäckern. Sie sind idealerweise weit genug voneinander entfernt um Profit zu machen aber dicht genug aneinander dass es keine Leute gibt die nicht zu ihnen hin kommen. Ausnahmen dazu gibt es, aber das sind normalerweise Beispiele von extrem schlechter Stadtplanung und führen dazu dass die unterversorgten Stadtteile Bevölkerung verlieren.

Werden wir größer, habe ich Ortschaften die nicht nur die lokale Bevölkerung versorgen, sondern auch regional, mit höherwertigen Gütern und Dienstleistungen. Aber auch diese werden nach demselben Schema funktionieren. Nah genug beieinander um keine Versorgungslücken zu haben, aber weit genug voneinander weg um sich nicht gegenseitig die Kunden weg zu nehmen. So ein höherwertiger Ort ist zentraler als ein niedrigerer Ort. Es bildet sich also ein Bienenwabenschema über dem Bienenwabenschema.

Wenn man das Ganze nach oben skaliert ergibt sich solch ein Schema. Ich habe Oberzentren mit einem großen Einzugsradius die umgeben sind von Mittelzentren mit einem kleineren Einzugsradius welche wiederum umgeben sind von Unterzentren mit einem winzigen Einzugsradius. Eine Metropole wäre z.B. A0 in der Mitte, das dann einen Einzugsradius hat der das ganze Gebiet umfasst.

Ein konkretes Beispiel:
Person X wohnt in Grafenwöhr, einem ziemlichen Kaff. Zum Einkaufen geht X in den örtlichen Supermarkt und zum Bäcker. Dort geht er fast jeden Tag hin, ist also nicht bereit sonderlich weit zu fahren. Jetzt braucht X aber neue Kleidung, also ist eine Shoppingtour angebracht. Dafür ist er bereit weiter zu fahren. Er hat die Wahl zwischen Weiden und Amberg, beides größere Orte in Reichweite. Er wählt den näheren Ort aus, also Weiden, und geht dort einkaufen. Jetzt will er in die Oper. Das macht man selten und ist ein besonderes Erlebnis, also ist er auch bereit dafür große Strecken zurück zu legen. Also fährt er nach Bayreuth oder Nürnberg. Person Y wohnt auch in einem Kaff in der Nähe, aber dieses Kaff hat keinen Supermarkt. Er muss also immer weiter fahren nur für den täglichen Einkauf, zu weit für seinen Geschmack. Frustriert hat er zwei Möglichkeiten... entweder er sorgt dafür dass ein Supermarkt kommt oder er zieht weg. Kein Supermarkt will kommen weil es nicht genug Leute gibt um einen Profit zu machen, also zieht er weg...

Händler Z will sich niederlassen und einen Laden aufmachen. Er handelt mit Weltenbastlersachen... Er muss sich also überlegen: wie weit sind Leute bereit zu fahren um bei mir einzukaufen und wie weit muss mein Einzugsgebiet sein damit ich davon leben kann. Ist sein minimales Einzugsgebiet kleiner als die Entfernung die Leute bereit sind dafür zu fahren, kann er davon leben. Da Weltenbastlersachen natürlich sehr begehrt sind, fahren Leute weit dafür. Es ist also nützlich für ihn sich möglichst zentral nieder zu lassen und geht deshalb in ein Oberzentrum.


Anwendung auf die Realität: In Realität ist eine Region natürlich nicht homogen. Es gibt Flüsse die durch fließen, Berge, besonders fruchtbare Gegenden usw. die das Ganze verzerren, aber dennoch lassen sich solche Strukturen durchaus auch in Echt erkennen. Hier ein Beispiel von Christaller selbst, Süddeutschland:
http://private.freepage.de/cgi-bin/feets...ript/lanu26.gif
Es ist nicht wie perfekte Bienenwaben aufgebaut, aber eine annähernde Wabenstruktur kann man erkennen.
Direkt nach Christaller wird nicht mehr bestimmt da einige seiner Messwerte veraltet sind (er hat z.B. die Anzahl an Telefonanschlüssen gezählt), aber angepasst wir das GAnze für die Raumplanung in den meisten Ländern genutzt und selbst da wo es nicht genutzt wird bilden sich solche Strukturen automatisch.


Wie kann ich das jetzt weltenbastlerisch einsetzen?

Städte sind nie in einem Vakuum. Es gibt keine großen Städte die im Nichts stehen. Habe ich eine große Stadt muss diese z.B. mit Nahrung versorgt werden. Allein dadurch entstehen um die große Stadt herum kleinere Städte einfach weil die Leute nicht bereit sind immer in die große Stadt für jede Kleinigkeit zu fahren. Ich habe also eine Handvoll kleinerer Städte um die große Stadt herum aus welchen dann Rohstoffe und andere Waren in die große Stadt geliefert werden und welche eben diese Lieferanten regional versorgen. Um diese kleineren Städte habe ich dann Dörfer die sich um die täglichen Bedürfnisse der Bauern und ähnlicher Leute kümmern. Der Bauer will abends ein Bierchen mit Freunden trinken, dafür geht er aber in die Dorfkneipe und fährt nicht 100 Meilen in die große Stadt, er fährt nichtmal 10 Meilen in die kleine Stadt dafür, er will das vor der Haustür haben.

Städte sind selten geballt. Man wird sehr selten 5 Millionenstädte auf einem Haufen und der Rest des Landes sind nur kleine Dörfer finden. Natürlich kommt sowas vor, siehe die Ostküste Amerikas, aber auch in solchen Fällen ergibt sich auch ein Muster zentraler Orte und es gibt einen guten Grund für diese Ungleichverteilung. In dem Fall die Tatsache dass an der Ostküste viel mehr Leute wohnen als im Zentrum des Landes, wodurch im Zentrum Städte keine so große Bedeutung erlangen können. Trotzdem ist Amerika dafür bekannt dass es weite Teile gibt die mit vielen Gütern und Dienstleistungen unterversorgt sind.

Wo ein Händler zu finden ist ist abhängig davon wie wichtig sein Gut ist. Ein Hufschmied ist in fast jedem Dorf zu finden, aber der hochspezialisierte Transmutationsmagier wird eher selten in einem Kaff im Nirgendwo zu finden sein sondern eher in größeren Orten mit entsprechender Infrastruktur. Wenn er in einem Kaff ist, hat das im allgemeinen einen Grund. Warum das Kaff einen Hufschmied hat muss ich nicht extra erklären, das ist fast zwangsläufig so (man müsste eher erklären warum das Kaff keinen Schmied hat) aber den Magier müsste man schon erklären.

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Es gibt eine große Ausnahme zu dieser Theorie die wohl jeder schon mal gesehen hat: man geht durch eine Straße in der Stadt und da sind direkt nebeneinander 5 Brillenhändler oder 4 Frisöre usw. Diese Ausnahme funktioniert nur wenn es genug Kundschaft für alle gibt und ist Thema eines extra Beitrags... Nur Kurzform: Wenn sie nach Christaller handeln würden, würden sie mehr Profit machen, aber Menschen sind dumm und egoistisch und handeln oft nicht rational.

Ballung von Konkurrenz:
Hotellings Modell der Mikroökonomie

Jeder der schon mal in einer Innenstadt unterwegs war kennt das seltsame Phänomen dass konkurrierende Geschäfte direkt nebeneinander liegen. In einer Straße hat man nicht einen, nicht zwei, sondern drei oder mehr Brillenläden, Friseure oder ähnliches, während in anderen Regionen der Stadt gähnende Leere ist. Das scheint der Theorie der zentralen Orte zu widersprechen, die ja besagt dass sich Geschäfte tendenziell verteilen um möglichst viele Kunden ohne Konkurrenz zu bekommen.

Doch während die Theorie der zentralen Orte im großen Rahmen wie ganzen Städten tatsächlich funktioniert, im kleinräumigen Bereich dominiert eine andere Tendenz der Menschen: sie sind egoistisch.
Das klassische Beispiel und das Beispiel an dem Hotelling es selbst erklärt hat, war das Beispiel von Eisverkäufern am Strand.

Nehmen wir einen Strandabscnitt von 100m und zwei Eisverkäufer an diesem Strand. Der gesunde Menschenverstand sagt, das Beste für alle Beteiligten, Verkäufer wie Kunden, wäre es dass sich die Verkäufer den Strand teilen. Beide stehen in der Mitte eines 50m Abschnitts. So hat jeder die gleiche Anzahl an Kunden und jeder Kunde hat den kürzest möglichen Weg zu einem Verkäufer:

Es gibt keinen Streit, keinen Stress und keiner muss unnötig laufen. Alle sind glücklich. Aber jetzt kommt einer der Verkäufer auf eine Idee: „Wenn ich mich ein bisschen mehr in Richtung Mitte bewege, dann wird mein Einzugsgebiet größer. Denn dann ist der Weg zu mir für mehr Badegäste als vorher kürzer. Er wird es schon nicht merken.“ er könnte also seinem Konkurrenten Kundschaft abgraben indem er seinen Stand ein klein wenig näher an die Mitte rückt. Dadurch gibt es einen Teil der Kunden in der Mitte der vorher näher bei seinem Konkurrenten war und jetzt näher zu ihm ist, also wohl zu ihm gehen wird:

Sein Konkurrent verliert Kundschaft und merkt was der Andere gemacht hat und wird verständlicherweise ähnlich reagieren, er rutscht ein klein wenig näher an die Mitte um so Kundschaft abzugraben oder vielleicht auch nur, wenn er nicht egoistisch ist, das Ungleiche Verhältnis wieder auszugleichen:

Das Spiel geht so tagelang weiter und von TAg zu Tag rücken die Konkurrenten näher aneinander bis beide in der Mitte angekommen sind und direkt nebeneinander stehen. Der Revierkampf hört an dieser Stelle auf, weil das so genannte Nash-Equilibrium erreicht ist, also ein Gleichgewicht under Konkurrenten das darauf basiert dass keiner davon abweichen kann ohne selbst in den Nachteil zu geraten.

Wer hat aber durch dieses egoistische Verhalten gewonnen?
Die Kunden definitiv nicht. Sie müssen jetzt weiter laufen als vorher
Die Händler aber auch nicht. Geht man davon aus dass für die Kunden am Rand des Strandes jetzt die Verkäufer zu weit weg sind um dort hin zu laufen, heißt das, dass beide Verkäufer Kundschaft verlieren und weniger Umsatz machen.

Es haben also alle verloren, paradoxerweise aus dem Bestreben der Händler heraus zu gewinnen.


Wie kann ich das jetzt weltenbastlerisch einsetzen?

Solche Dilemmas sieht man oft in der Welt, nicht nur im Bereich Handel. Andere Beispiele wären das so genannte Braess-Paradoxon das zeigt, dass sich die Verkehrssituation tatsächlich verschlechtern kann wenn man eine zusätzliche Straße baut, das Gefangenen-Dilemma das beschreibt wie zwei Gefangene besser damit fahren den Anderen zu verraten als zu schweigen auch wenn sie, wenn beide schweigen straffrei davon kommen und viele andere.
Hat man in seiner Welt Menschen oder Wesen die ähnlich wie Menschen handeln, werden sich immer wieder solche Situationen ergeben. Ballungen von Konkurrenten an einem Ort oder vielleicht Gesetze die versuchen das zu verhindern, vielleicht Städte mit dem Verbot dass zwei gleiche Geschäfte nebeneinander liegen dürfen oder, wie in orientalischen Städten, vielleicht sogar Gesetzen die besagen dass alle Personen des gleichen Handwerks in derselben Straße angesiedelt sein müssen.
Andere Ideen wären kulturelle Zusammenstöße zwischen Völkern die nach diesem Schema agieren und Völkern die nicht danach agieren und ähnliches.

Wichtig ist auf alle Fälle bei der Planung einer Stadt daran zu denken. Da es ein mikroökonomisches Problem ist, tritt es nicht auf dem Größenniveau eines ganzen Landes oder einer Region auf, sondern auf dem Größenniveau einer Stadt oder von Stadtteilen.